Já imaginou fazer uma descoberta importante na Matemática, mas cuja relevância só foi reconhecida pela comunidade acadêmica uma década depois de sua publicação?
Apesar de estranho, esse tipo de fenômeno não é tão incomum quanto parece. Em 1975, Tien-Yien Li e James A. Yorke publicaram na revista American Mathematical Monthly um artigo intitulado Period Three Implies Chaos, o qual demonstrava, dentre outros resultados, que se uma função contínua \(f: I \longrightarrow I \) definida em um intervalo fechado possuísse um ponto \(x_{0} \in I \) de período 3 (isto é, \(f(f(f(x_{0}))) = x_{0} \), mas \(f(x_{0}) \neq x_{0} \) e \(f(f(x_{0})) \neq x_{0} \)), ela também teria um ponto de período \(k \), para todo \(k \) natural. A publicação desse resultado foi um dos marcos iniciais para a investigação da dinâmica das funções na reta.
Curiosamente, este teorema é um caso particular de outro, que já havia sido provado onze anos antes por Oleksandr Mykolayovych Sharkovsky. Entretanto, seu trabalho foi publicado em russo, em uma revista pouco conhecida na época, e acabou passando despercebido pela maior parte da comunidade matemática internacional.
O resultado de Sharkovsky revelava algo curioso: os possíveis períodos de funções contínuas na reta não aparecem de forma arbitrária, mas seguem uma ordem muito específica. Esse fenômeno, que à primeira vista parece estranho, está no coração do que ficou conhecido como Teorema de Sharkovsky, um dos primeiros esforços em busca de ordenar o caos.
Um Pouco sobre Sistemas Dinâmicos#
Para entender por que esse resultado é tão curioso, é necessário primeiro compreender o tipo de objeto matemático que está sendo estudado. Um dos modelos que utilizamos para descrever matematicamente a evolução de certos fenômenos ao longo do tempo são os sistemas dinâmicos. Eles aparecem em diversas áreas, como na Ecologia, no estudo do crescimento populacional de espécies, na Economia, para a análise da evolução de ativos financeiros, e na Ciência da Computação, em problemas de controle e processamento de sinais, dentre outras.
De maneira geral, um sistema dinâmico consiste em um conjunto \(X \) de estados possíveis, denominado espaço de fases, e uma lei de evolução \(f: X \longrightarrow X \) que descreve como o sistema se modifica ao longo do tempo. A progressão temporal, por sua vez, pode ocorrer de maneira discreta ou contínua. Dizemos que o tempo é discreto quando a evolução do sistema acontece em etapas sucessivas, geralmente indicadas por números inteiros \(1,2,3,… \). Nesse caso, cada estado do sistema surge da aplicação da lei de evolução ao estado anterior. Assim, considerando um estado inicial \(x_{0} \in X \), a próxima configuração do sistema será dada por \(x_{1} = f(x_{0}) \), em seguida \(x_{2} = f(f(x_{0})) \), e assim sucessivamente, de modo que
$$ x_{n} := f^{n}(x_{0}) = \underbrace{(f \circ f \circ. .. \circ f)}_{n \hspace{0.2cm} \text{vezes}}(x_{0}). $$
Algumas vezes, é possível que um sistema dinâmico discreto saia e retorne a um mesmo estado \(\tilde{x} \) depois de um certo número de iterações da função \(f \). Nesse caso, dizemos que \(\tilde{x} \) é um ponto periódico de \(f \). Formalmente, dado um sistema dinâmico discreto \((X,f) \), em que \(X \) é o espaço de fases e \(f: X \longrightarrow X \) a lei de evolução, diremos que \(\tilde{x} \) é \(n \)-periódico para algum \(n \) natural se
$$f^{n}(\tilde{x}) = \tilde{x}.$$
Além disso, definimos o período \(k \) de \(\tilde{x} \) como o menor natural \(n \) que torna \(\tilde{x} \) \(n \)-periódico, isto é, \(\tilde{x} \) tem período \(k \) se
$$f^{k}(\tilde{x}) = \tilde{x} \hspace{0.3cm} \text{e} \hspace{0.3cm} f^{n}(\tilde{x}) \neq \tilde{x}, \forall n < k, n \in \mathbb{N}.$$
Ordem de Sharkovsky#
Agora, para compreender o Teorema de Sharkovsky, precisamos primeiro definir uma nova forma de ordenar os números naturais. Para isso, consideramos uma relação de ordem denotada por \(\vartriangleright \), no conjunto \(\mathbb{N} \), de modo que, quando escrevemos \(a \vartriangleright b \), queremos dizer que \(a \) precede \(b \) nessa nova ordenação (ou seja, \(a \) é considerado “maior” que \(b \) nessa ordem específica).
Primeiro, vamos começar listando todos os números ímpares, a partir do \(3 \): $$3 \vartriangleright 5 \vartriangleright 7 \vartriangleright 9 \vartriangleright 11 \vartriangleright 13 \vartriangleright \cdots$$
Em seguida, iremos inserir esses mesmos números ímpares, agora multiplicados por \(2 \): $$ 3\cdot 2 \vartriangleright 5\cdot 2 \vartriangleright 7\cdot 2 \vartriangleright 9\cdot 2 \vartriangleright 11 \cdot 2 \vartriangleright 13 \cdot 2 \vartriangleright \cdots$$
Depois, vêm os ímpares multiplicados por \(2^{2} \): $$ 3\cdot 2^{2} \vartriangleright 5\cdot 2^{2} \vartriangleright 7\cdot 2^{2} \vartriangleright 9 \cdot 2^{2} \vartriangleright 11\cdot 2^{2} \vartriangleright \cdots$$
Esse padrão continua com potências cada vez maiores de \(2 \). Por fim, aparecem apenas as potências de \(2 \), em ordem decrescente, sem os ímpares: $$ \cdots\vartriangleright 2^{4} \vartriangleright 2^{3} \vartriangleright 2^{2} \vartriangleright 2 \vartriangleright 1.$$
Desse modo, criamos uma nova ordenação do conjunto \(\mathbb{N} \), a qual vamos denominar ordem de Sharkovsky, disposta da seguinte maneira:
$$3 \vartriangleright 5 \vartriangleright 7 \vartriangleright … \vartriangleright 3 \cdot 2 \vartriangleright 5 \cdot 2 \vartriangleright 7 \cdot 2 \vartriangleright … \vartriangleright 3 \cdot 2^{k} \vartriangleright 5 \cdot 2^{k} \vartriangleright 7 \cdot 2^{k} \vartriangleright … \vartriangleright 2^{3} \vartriangleright 2^{2} \vartriangleright 2 \vartriangleright 1.$$
O Teorema de Sharkovsky#
Por fim, chegamos no resultado principal: o Teorema de Sharkovsky afirma que, dado um intervalo fechado \(I \subset \mathbb{R} \) e uma função contínua \(f: I \longrightarrow I \), se \(f \) possuir um ponto de período \(n \), para algum \(n \) natural, ela também terá um ponto de período \(k \), para todo \(k \in \mathbb{N} \) tal que \(k \vartriangleleft n \) na ordem de Sharkovsky.
Repare que, como \(3 \) é o primeiro número na ordem de Sharkovsky, a existência de um ponto de período \(3 \) implica na existência de um ponto de período \(k \), para todo \(k \) natural, assim como descreve o Teorema de Li e Yorke.
Portanto, o Teorema de Sharkovsky revela que, mesmo em sistemas aparentemente simples, a repetição de certos comportamentos não ocorre ao acaso. Existe uma estrutura oculta por trás das possíveis periodicidades, organizada de acordo com uma ordem fixa. Assim, esse resultado ilustra uma das ideias mais curiosas da matemática contemporânea: mesmo no que parece caótico, pode haver uma ordenação aguardando para ser investigada.
Referências Bibliográficas#
BACKES, L; BARAVIERA, A. T.; BRANCO, F.M. Uma Introdução aos Sistemas Dinâmicos via Exemplos. 1ªed. Rio de Janeiro: IMPA, 2023.
BRÁS, João Carlos Teodoro. Dinâmica de Funções Contínuas na Reta. Relatório de Estágio. Covilhã: Universidade da Beira do Interior, 2013. Disponível em: http://hdl.handle.net/10400.6/1875. Acesso em 4 de abril de 2026.
