Olá matemáticos de plantão! Sentiram saudades dos PETiscos?
Neste PETisco, iremos conhecer um dos resultados que demonstram como as áreas de Análise e Teoria de Números estão interligadas, criando uma nova área que chamamos de Teoria Analítica de Números.
O que é a Teoria Analítica de Números?#
Como o nome indica, essa área faz a utilização de ferramentas de Análise para a solução de problemas de Teoria de Números.
Ela surgiu em 1837 quando Dirichlet mostrou que dados dois inteiros \( a, b \), eles são coprimos se, e somente se, o polinômio \(p(x) = ax + b \) gera infinitos números primos. Este resultado ficou conhecido como Teorema de Dirichlet.
Com isso feito, a Teoria Analítica dos Números surgiu e muitos outros problemas relacionados aos inteiros foram demonstrados com ferramentas analíticas. Por exemplo, o Teorema dos Números Primos afirma que a função \( \pi(x) \), que conta a quantidade de números primos menores ou iguais a \( x \), é assintótica à função \( \frac{x}{\log x} \), ou seja, $$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\pi(x)\log x}{x}=1$$ o que nos mostra a irregularidade da distribuição dos números primos.
Entendendo o problema#
Para que dois números inteiros \( a, b \) sejam coprimos, eles não podem possuir números primos iguais na sua fatoração. Logo, podemos calcular a probabilidade de que eles não possuam nenhum fator primo \( p \) em comum da seguinte maneira:
Primeiro, calcularemos a probabilidade de eles compartilharem o mesmo fator. Pelo algoritmo da divisão, os números \( a \) e \( b \), podem ser escritos da seguinte maneira: $$a = p \cdot q_1 + r_1 \text{ e } b = p \cdot q_2 + r_2$$ com \( r_1, r_2 \in \left\{ 0, 1, \dots, p - 1 \right\} \).
Assim, para que eles compartilhem o mesmo fator primo \( r_1 = r_2 = 0 \), e, portanto, a probabilidade de eles possuírem o mesmo fator primo \( p \) é \( \frac{1}{p^2} \) e a de não possuírem é \( 1 - \frac{1}{p^2} \). Porém, queremos que eles não compartilhem nenhum fator primo, ou seja, queremos calcular $$\prod\limits_{p \text{ primo}}1-\frac{1}{p^2}$$ o que não é uma tarefa fácil. Daí, vem a pergunta, como podemos calcular o valor desse produto infinito?
Uma grande ajuda de Euler#
Um dos objetos mais utilizados na Teoria Analítica de Números são as funções aritméticas. Essas são funções de valores reais ou complexos definidas nos inteiros positivos.
Dizemos que uma função aritmética é multiplicativa se ela satisfaz \( f(m n) = f(m) f(n) \) sempre que \( \mathrm{mdc}(m, n) = 1 \). Caso essa função satisfaça essa propriedade para todos os inteiros \( m, n \), dizemos que ela é completamente multiplicativa.
Com isso, podemos entender um dos teoremas que Euler demonstrou e nos ajuda a resolver o nosso problema.
Esse teorema afirma que se \( f \) é uma função aritmética multiplicativa tal que a sua série converge absolutamente, então podemos expressar ela da seguinte maneira: $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} f(n) = \prod\limits_{p \text{ primo}}(1 + f(p) + f(p^2) + \dots)$$ que é uma versão analítica do Teorema Fundamental da Aritmética.
Caso \(f \) seja completamente multiplicativa, temos que \( f(p^k) = f(p)^k \) para todo \( k \) natural. Assim, para cada \(p \), obtemos uma série geométrica e teremos $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} f(n) = \prod\limits_{p \text{ primo}} \frac{1}{1-f(p)}.$$ Em particular, para \(f(n) = \frac{1}{n^s} \) com \(\mathrm{Re}(s) > 1 \), temos que $$\zeta(s) = \prod\limits_{p \text{ primo}} \frac{1}{1 - \frac{1}{p^s}}.$$ Assim, para \(s = 2 \), resultado conhecido como Problema de Basileia, temos que $$\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} = \prod\limits_{p \text{ primo}} \frac{1}{1 - \frac{1}{p^2}}.$$ Como converge para um valor não-nulo, obtemos que $$\frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} = \prod\limits_{p \text{ primo}} 1 - \frac{1}{p^2}.$$ Portanto, a probabilidade de dois números inteiros serem coprimos é de \( \frac{6}{\pi^2} \).
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Referências#
[1] APOSTOL, T. M. Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag, 1976.
[2]DIRICHLET, P. G. Lejeune. Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendliche viele Primzahlen enthält. Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Berlim, p. 45–81, 1837. Reimpresso em: Werke, v. 1, p. 315–342.
[3] LIMA, Elon Lages. Análise Real: volume 1, Funções de Uma Variável. Rio de Janeiro: Impa, 2017.
