Alô, alô, matemáticos de plantão! Estamos finalmente de volta para mais um PETisco, e desta vez gostaria de dar luz a uma classe (uma categoria!?) de objetos matemáticos muito ricos: os Grupos Topológicos.
O que é um grupo topológico? Pense num grupo, isto é, um conjunto que pode ser munido de uma operação (que satisfaz fechamento, associatividade, existência de uma identidade e de elementos inversos). Queremos agora topologificar este grupo, isto é, adicionar uma topologia ao seu conjunto onde a operação é contínua. Pronto! Um grupo topológico é um grupo e um espaço topológico, onde a sua operação é contínua!
Claro, há mais detalhes, mas a essência é essa, por isso o objetivo deste petisco é divulgar a beleza destas estruturas, que são a união de objetos bonitos por si só.
Uma mistura extravagante#
Bem, antes de progredir, gostaría de comentar em mais detalhes a parte da “operação ser contínua na topologia”. Podemos entender um grupo como uma tripla \( (G, m, i ) \), onde \( m \) é sua operação (sua “multiplicação”) e \( i \) sua “inversão”, isto é, \( i(g)=g^{-1} \). Quando analisamos a continuidade da operação em \( G \), entender a continuidade de \( m \) e \( i \) é mais fácil geralmente do que estudar a operação de \( G \) “inteira”.
Uma das consequências interessantes de misturar grupos e topologia surge quando analisamos as vizinhanças deste espaço, em específico, as vizinhanças da identidade. A literatura ([1], [2]) define um sistema de vizinhanças em torno da unidade como uma família de conjuntos \( \Sigma \) em \( G \) que satisfaz:
- Para todo conjunto \( U\in \Sigma \), \( 1\in U \), e também \( U^{-1}\in \Sigma \);
- Se \( U,V\in \Sigma \) então \( U\cap V \in \Sigma \);
- Para todo \( U\in \Sigma \), existe um \( V\in \Sigma \) tal que \( V^2 \subset U \);
- Para todo \( U\in \Sigma \) e \( g\in G \), temos que \( gUg^{-1}\in \Sigma \).
Estes sistemas de vizinhança da identidade (no sentido de grupos topológicos) tem muito a ver com os sistemas fundamentais de vizinhanças (no sentido topológico), e podemos entender uma propriedade fundamental dos grupos topológicos a partir do seguinte teorema:
Teorema: Seja \( G \) um grupo e \( \Sigma \) um sistema de vizinhanças da identidade. Então existe uma única topologia \( \tau \) que torna \( G \) um grupo topológico e \( \Sigma \) um sistema fundamental de vizinhanças em relação a \( \tau \) [1].
O que tiramos disso? Estamos concluindo que, não só podemos “topologificar” um grupo qualquer com base em conjuntos que contém sua identidade, mas também como estes conjuntos definem esta topologia de forma única. Assim, para analisarmos um dado grupo topológico, podemos nos restringir a sua identidade.
Outra construção interessante é a dos subgrupos topológicos e o que podemos fazer com eles. Aqui há uma pequena diferença na literatura que utilizo, enquanto [1] define apenas como um subgrupo com a topologia induzida, [2] pede que tal subgrupo seja um conjunto fechado na topologia. Entenderemos um subgrupo topológico a partir da primeira definição apresentada, por ela ser mais abrangente.
Agora, temos todas as ferramentas necessárias para estudar um teorema muito curioso. Como temos construções comuns tanto a grupos como a espaços topológicos, podemos ter as mesmas para grupos topológicos, como por exemplos quocientes, produtos, homomorfismos de grupos topológicos, etc. Ainda mais, podemos analisar analisar como propriedades da topologia se relacionam com propriedades do grupo (e seus subgrupos), o teorema (muito curioso) a seguir trata-se justamente disso:
Teorema: Dado um grupo topológico \( G \) e um subgrupo topológico (de \( G \)) \( H \), então: $$ G/H \hspace{0.2cm} \text{é Hausdorff } \iff H \hspace{0.2cm} \text{é um subgrupo fechado [1].} $$
Este teorema é muito interessante pois, como dito anteriormente, ele “brinca” com a topologia e a estrutura de grupo ao mesmo tempo!
Antes de falarmos de como este teorema “aparece na natureza”, gostaria de adicionar alguns detalhes a ele: quando falamos de “subgrupo fechado”, é exatamente o que vem na cabeça, um subgrupo que é fechado na topologia do grupo; quando falamos daquele quociente, estamos falando da topologia quociente daquele espaço, não necessariamente o grupo quociente (não pedimos em momento algum que \( H \) fosse um subgrupo normal/invariante). E você pode encontrar a demonstração (que não é muito complicada) em [1].
Como este teorema aparece na natureza?
Trajetórias no Toro#
Podemos ilustrar este teorema a partir da seguinte construção: tome o toro \( \mathbb{T}^{2} = \mathbb{R}^{2}/\mathbb{Z}^2 \), que é um grupo topológico (ainda por cima abeliano!), e uma reta dada por \( {(t,\alpha t): t\in\mathbb{R}} \) onde \( \alpha\in \mathbb{R} \) é sua inclinação na representação do toro em \( \mathbb{R}^2 \) (o toro planificado). Denotaremos por \( H_{\alpha} \) a projeção desta reta no toro, isto é, a reta é como uma corda que se enrola continuamente no toro.
Representando visualmente, teríamos algo como:
E sua planificação:
Antes de continuarmos, devemos justificar o porquê de \( H_{\alpha} \) ser um subgrupo. Podemos ver que a aplicação \( \phi: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{T}^{2} \) com \( \phi(t) = (t,\alpha t) + \mathbb{Z}^2 \) é um homomorfismo contínuo, e sua imagem, portanto, dada por \( H_{\alpha} \) é um subgrupo topológico de \( \mathbb{T}^2 \).
Veja que escolhendo uma inclinação racional, a reta variando em \( t \) eventualmente se fecha, isto é, ela se encontrará após um período \( t=q \), e continuará “caminhando” em cima da mesma trajetória já desenhada. A figura acima ilustrava justamente isto. Assim, neste caso, podemos ver que \( H_{\alpha} \) será um subgrupo fechado (homeomorfo ao círculo \( S^1 \)).
No caso em que a inclinação é irracional, a reta nunca se encontra novamente, ela continuará “se enrolando” no toro, fazendo com que \( H_{\alpha} \) seja denso, e como \( \mathbb{T}^2 \) é Hausdorff e \( H_{\alpha} \) é um subconjunto próprio, tem-se que a projeção não é um subgrupo fechado.
Veja uma representação visual do caso do enrolamento irracional:
Pode-se ver claramente que a projeção fica cada vez mais densa. Mas onde entra o nosso teorema?
O teorema de dizia que a topologia quociente de um grupo topológico era Hausdorff se e somente se o subgrupo era fechado. Assim, aplicando o teorema para o exemplo do toro:
- Se a curva é de inclinação racional, então \( H_{\alpha} \) é fechado, e portanto a topologia de \( \mathbb{T}^2/H_{\alpha} \) é Hausdorff. Podemos ver que este fato na ilustração, onde cada linha da trajetória está bem separada.
- Se a curva é de inclinação irracional, então o quociente \( \mathbb{T}^2/H_{\alpha} \) não é Hausdorff. A ilustração nos possibilita ver isso, onde cada linha está cada vez mais próxima assim que damos mais voltas com esta trajetória.
Este é apenas um dos exemplos de construções interessantes (com aplicações mais interessantes ainda!) que podemos fazer com grupos topológicos, uma classe de objetos (que de fato forma uma categoria: a \( TopGrp \)), com propriedades muito ricas e que apresenta uma grande variedade de ferramentas para trabalhar.
Enfim, espero que a leitora ou leitor tenha se interessado no estudo de grupos topológicos e como podemos utilizá-los para estudar (e brincar!) com estruturas geométricas. Foi um prazer escrever-vos e até próxima!
As ilustrações foram feitas na aplicação https://www.geogebra.org/m/rGkgd3sK criada por Thiago Ferraiol no Geogebra.
Referências Bibliográficas#
[1] San Martin, Luiz. Grupos de Lie. Brasil: Editora Unicamp, 2016.
[2] Pontryagin, Lev Semenovic. Topological Groups. Reino Unido: Gordon and Breach, 1966
