Alô, alô, matemáticos de plantão! Estamos finalmente de volta para mais um PETisco, e desta vez gostaria de apresentar um conceito geométrico que possui uma série de exemplos interessantes, assim como uma teoria rica e cheia de aplicações: Espaços Homogêneos!
Informalmente, um espaço homogêneo é um espaço que parece o mesmo em todo lugar a medida que um observador se move através dele. Formalmente, um espaço homogêneo para um grupo topológico \( G \) é um espaço topológico \( X \) em que \( G \) age transitivamente.
Vamos esmiuçar um pouco mais esta definição.
Primeiramente, lembramos que uma ação à esquerda de um grupo topológico \( G \) em um espaço topológico \( X \) é uma aplicação contínua \( \alpha: G \times X \to X \) tal que duas propriedades são satisfeitas:
- \( \alpha(gg’, x) = \alpha(g, \alpha(g’,x)) \);
- \( \alpha(e_{G}, x) = x \);
Equivalentemente, uma ação a esquerda pode ser definida como um homomorfismo contínuo \( \alpha: G \to Homeo(X) \). Aqui denotamos: \( \alpha(g,x) = \alpha_g(x) \).
Aqui, tomaremos como exemplo principal, apenas para ilustrar o conceito, a ação \( O_n(\mathbb{R}) \curvearrowright \mathbb{R}^n \) onde \( \alpha(A, v) = Av \).
Uma ação \( G \curvearrowright X \) é dita transitiva quando para quaisquer dois \( x, y \in X \) existe um \( g \in G \) tal que \( \alpha(g,x) = y \). Convenientemente, o exemplo acima de ação contínua é também exemplo de ação transitiva.
Relembramos também dois conjuntos associados a uma ação de grupo: a órbita de um elemento \( x \in X \) definida por \( O_x = {\alpha(g,x) | g\in G} \), e o grupo estabilizador da ação: \( H = \left\{ g\in G \mid \alpha(g,x) = x\right\} \).
Vamos estudar as órbitas e o grupo estabilizador das nossa ação de exemplo.
A ação \( O_n(\mathbb{R}) \curvearrowright \mathbb{R}^n\) tem como grupo estabilizador o grupo \( O_{n-1}(\mathbb{R}) \). Já as órbitas são dadas pelas esferas \( \mathbb{S}^{n-1} \), para verificar basta lembrar que as matrizes ortogonais preservam a norma de um vetor.
Finalmente, podemos relembrar um teorema (que pode ser encontrado no livro Grupos de Lie, do Luiz A. B. San Martin na seção nomeada “Homeomorfismo \( G/G_x \to G \cdot x \)”) que nos diz o seguinte:
\( \textbf{Teorema:} \) Seja \( G \curvearrowright X \) uma ação contínua e transitiva. Suponha que \( G \) seja separável e que \( X \) seja um espaço de Baire. Então, as aplicações \( \xi_x : G/ H \to O_x \) são homeomorfismos.
Então, voltando ao nosso exemplo principal, concluiremos que \( O_n(\mathbb{R})/O_{n-1} \cong \mathbb{S}^{n-1} \), assim poderíamos concluir que o espaço homogêneo de \( O_n(\mathbb{R}) \) é \( \mathbb{S}^{n-1} \).
Este resultado serve de ilustração a ideia de espaço homogêneo, onde aqui escrevemos um espaço topológico (neste caso \( \mathbb{S}^{n-1} \)) como uma ação contínua de grupos. Isto aparece de maneira útil na física cosmológica, relacionado a conceitos como o espaço de Minkowski e espaços de Sitter.
Enfim, espero que a leitora ou leitor tenha se interessado pelo estudo de espaços homogêneos e suas aplicações. Foi um prazer escrever-vos e até a próxima!
