Em matemática, podemos encontrar conjuntos — no sentido usual do termo — em quase toda parte. A reta real define um conjunto, bem como os números complexos. Espaços vetoriais possuem um conjunto subjacente: o conjunto de seus vetores. De modo relativamente similar, podemos olhar para o conjunto de elementos de um grupo, de um anel e de um espaço topológico. Mas a definição de categoria, com toda sua generalidade, não descarta a possibilidade de existir um (vasto?) universo categórico que se estende para além dessa noção de elementos. Será que isso faz de categorias “familiares” como \( \textbf{Set} \), \( \textbf{Vect} \), \( \textbf{Grp} \), \( \textbf{Ring} \) e \( \textbf{Top} \) apenas janelas “visíveis” desse universo? Com ou sem pessimismo, o fato é que pode acontecer que certas propriedades categóricas definidas de modo geral deixem, também, seus resquícios nessa pálida família de categorias [1]*.
No PETisco intitulado “Bases para espaços vetoriais sob lentes categóricas”, foram definidos conceitos como categoria, funtor e morfismo universal. Ao final deste, foi levantada a existência de uma possível relação entre morfismos universais e o transporte de um problema originado em determinada categoria para uma categoria relativamente mais simples. Não exploraremos como essa relação é feita de modo geral, mas começaremos a analisar o caso dos chamados construtos. Nesta postagem, apenas preparamos o terreno; a verdadeira viagem pelos funtores começaria em um provável futuro PETisco.
Considere uma categoria qualquer \( \mathcal{X} \). Chamamos de categoria concreta sobre \( \mathcal{X} \) o par \( (\mathcal{A},U) \), onde \( A \) é uma categoria e \( U: \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{X} \) é um funtor fiel. Por funtor fiel, entendemos um funtor que é injetor nos morfismos, ou seja, se dois morfismos têm a mesma imagem por um funtor fiel, então eles já eram iguais [2]. O termo “fiel” vem, então, do fato de que um morfismo na categoria de chegada desse tipo de funtor está associado a um, e apenas um, morfismo na categoria de saída. Existe um tipo específico de funtor fiel que é chamado de “funtor esquecimento”, pois ele faz uma categoria esquecer certas estruturas que possui. Por exemplo, é possível definir um funtor esquecimento saindo de \( \textbf{Grp} \) e chegando em \( \textbf{Set} \) ao considerarmos que ele leva grupos para seus respectivos conjuntos subjacentes, esquecendo suas estruturas de grupo, e leva homomorfismos de grupos para suas funções subjacentes, também esquecendo suas estruturas de homomorfismo. Como esse funtor é injetor nos morfismos, então ele é fiel e \( (\textbf{Grp},U) \) é uma categoria concreta sobre \( \textbf{Set} \). Quando \( \mathcal{X} = \mathbf{Set} \) na definição de categoria concreta sobre \( \mathcal{X} \), temos um construto.
No PETisco mencionado anteriormente, foram apresentados a ideia de morfismo universal e um exemplo que envolvia, de modo direto, sua definição. No entanto, morfismos universais são construções tão gerais que existem diversos casos particulares (e também outros casos particulares dentro desses!) — se em algum momento você se deparou com um resultado que afirma, por exemplo, a existência e unicidade de uma função, ou transformação linear, ou homomorfismo de grupo/anel, ou mapa contínuo que se fatoram de modo único a partir de um certo mapa específico do mesmo tipo, então pode ser que você tenha lidado com um caso de morfismo universal.
Vamos olhar um caso específico: os colimites. Seria complicado apresentar, aqui, essa construção de forma breve e rigorosa, mas o leitor pode encontrá-la tanto na obra de Mac Lane [3] quanto na de Ribeiro [4]. Podemos, no entanto, ficar com a sua ideia que, é claro, possui a essência dos morfismos universais: se consideramos, em uma categoria, pares \( (\text{objeto}, \text{morfismo}) \) que vivem no contexto da definição de morfismo universal e, ainda nesse contexto, possuem uma mesma propriedade, então o colimite é o par “mínimo” que satisfaz essa propriedade, ou seja, se há alguém que se comporta da mesma forma, então ele “se inclui” nesse alguém.
Por construção, um colimite possui uma propriedade universal que, consequentemente, também pode ser enxergada em casos especiais de colimites. Os chamados coequalizadores se encaixam em um desses casos: imagine uma categoria \( \mathcal{C} \) que possui dois morfismos \( f \) e \( g \) que saem do mesmo objeto \( a \) e têm o mesmo objeto destino \( b \) (poderíamos vê-los como “morfismos paralelos”). Suponha que há outro morfismo \( u: b \longrightarrow e \) que sai de \( b \) tal que \( u \circ f = u \circ g \) — ou seja, tanto faz se tomamos o caminho por \( f \) ou por \( g \) antes de continuar seguindo por \( u \) para chegar em \( e \). Se para todo outro morfismo que se comporta como \( u \), isto é, se para todo \( h: b \longrightarrow c \) que também sai de \( b \) e também é tal que \( h \circ f = h \circ g \), então existe um único morfismo \( h’: e \longrightarrow c \) tal que podemos escrever \( h \) de modo único como a composição \( h = h’ \circ u \), ou seja, \( h \) se fatora unicamente através de \( u \). Nesse caso, dizemos que o par \( (e,u) \) coequaliza os morfismos paralelos \( f \) e \( g \).
Em certos resultados conhecidos, podemos encontrar um coequalizador escondido. Por exemplo, no Primeiro Teorema do Isomorfismo, pelo menos em \( \textbf{Grp} \) [5] e \( \textbf{Ring} \) [6], obtemos a fatoração única de algum morfismo que se comporta como um outro certo morfismo especial.
\( \textbf{Teorema (Primeiro Teorema do Isomorfismo para Grupos - Versão Sobrejetiva).} \) Se \( \varphi: G \longrightarrow L \) é qualquer homomorfismo sobrejetivo tal que \( Ker(\varphi)=N \), então existe um único isomorfismo \( \varphi’: G/N \cong L \) tal que \( \varphi=\varphi’ \circ p \), onde \( p: G \longrightarrow G/N \) é a projeção canônica.
\( \textbf{Teorema (Primeiro Teorema do Isomorfismo para Anéis com Unidade).} \) Sejam \( A \) e \( B \) anéis com unidade e \( f: A \longrightarrow B \) um homomorfismo de anéis. Então, a aplicação \( f’: A/Ker(f) \longrightarrow Im(f) \) dada por \( [a] \longmapsto f(a) \) é um isomorfismo de anéis.
Por ser possível — a partir de relações de equivalência apropriadas — construir morfismos paralelos que se encaixem na definição acima, então o resultado desse teorema, em cada um dos casos acima, segue diretamente de mostrarmos existência dos respectivos coequalizadores. Essa abordagem categórica pode ou não ser mais simples que a demonstração de um resultado em sua respectiva área, mas o fato é que ela oferece um outro ângulo de visão para o mesmo problema, o que é algo bem-vindo.
Mas onde os construtos aparecem em tudo isso? Bem, já vimos que \( \textbf{Grp} \) e seu funtor esquecimento \( U \) definem um construto. Analogamente, também podemos obter um construto a partir de \( \textbf{Ring} \) e de seu funtor de esquecimento. Por ser possível demonstrar os resultados mencionados a partir de construções categóricas, então, ao menos nesses casos, tais construções também deixaram seus resquícios nesses dois membros da pálida família de categorias descrita no início desta postagem. Mas, como ocorre no cálculo de várias variáveis reais, não basta testarmos muitos caminhos e vermos que dão o mesmo valor para o limite de uma função em determinado ponto para concluirmos que este de fato existe: é preciso mostrar que isso vale para qualquer caminho possível, e eles são infinitos! De modo análogo, devemos investigar se também podemos enxergar esses resquícios para qualquer construto que seja. Caso não pudermos, isso não significa que devamos parar por aí… Poderíamos, ao menos, investigar se existem condições a partir das quais podemos afirmar determinada coisa e, talvez com uma análise mais detalhada do problema, enfraquecer as hipóteses com o intuito de se obter algo mais geral. Isso se conecta com a ideia de levar um problema de uma categoria para uma categoria mais simples: no caso dos construtos, o funtor candidato a fazer esse transporte com resultados desejáveis é o funtor fiel chegando em \( \textbf{Set} \) associado a este construto.
O plano é, em um futuro PETisco, analisarmos um caso em que podemos construir um coequalizador no contexto de topologia quociente. Veríamos que a topologia quociente define um espaço quociente, que por sua vez é um objeto da categoria \( \textbf{Top} \), sobre o qual é possível definir um construto ao considerarmos o funtor esquecimento que leva cada espaço topológico em seu conjunto subjacente e cada função contínua em sua função subjacente. Nesse cenário, devemos analisar se a viagem foi bem sucedida ou não, isto é, se o resultado que procuramos mostrar em \( \textbf{Top} \) é válido ao considerarmos as imagens pelo funtor esquecimento dos respectivos objetos e morfismos em \( \textbf{Set} \). Supondo que essa viagem de ida foi realizada com êxito, será que poderíamos voltar? Se o bilhete de volta não existir em todo caso, então com quais hipóteses? Esse é um problema para o futuro, então, no momento, lembre-se de apenas aproveitar a viagem.
*Tentativa de metáfora — um aceno ao Pálido Ponto Azul.
Referências#
[1] Sagan, C. (1996). Pálido Ponto Azul: Uma visão do futuro da humanidade no espaço. Companhia das Letras.
[2] Adamek, J., Herrlich, H., and Strecker, G. (2009). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. Dover Publications.
[3] Mac Lane, S. (1971). Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag.
[4] Ribeiro, M. F. S. (2020). Teoria das Categorias para Matemáticos. Sociedade Brasileira de Matemática.
[5] Mac Lane, S. and Birkhoff, G. (1999). Algebra. American Mathematical Society.
[6] Garcia, A.; Lecquain, Y. (2015) Elementos de Álgebra. IMPA.
