Uma álgebra sobre um corpo \(\mathbb{K}\), ou uma \(\mathbb{K}\)-álgebra, é um espaço vetorial \(A\) sobre o corpo \(\mathbb{K}\) munido de um produto bilinear e associativo.
Em outras palavras, dados arbitrários \(a\) e \(b\) do espaço \(A\), exatamente nessa ordem, existe um elemento unicamente definido de \(A\) que chamamos de elemento produto, denotamos por \(ab\), em que as seguintes condições são satisfeitas:
- \(a(b+c) = ab+ac \);
- \((b+c)a = ba+ca \);
- \((\alpha a)b = a(\alpha b) = \alpha (ab) \);
- \((ab)c = a(bc)\),
em que \(c\) também é um elemento arbitrário de \(A\) e \(\alpha\) é um escalar arbitrário do corpo \(\mathbb{K}\).
Uma álgebra \(A\) é dita de dimensão finita ou de dimensão infinita se o \(\mathbb{K}\)-espaço vetorial \(A\) é de dimensão finita ou dimensão infinita, respectivamente. A dimensão de um espaço vetorial \(A\) é chamada de dimensão da álgebra \(A\) e é denotada por \([A:\mathbb{K}]\).
Segue da bilinearidade do produto que, dada uma base \(\left{ a_i\right}{i=1}^n\), o produto é unicamente determinado pelo produto dos vetores da base \(b{ij} = a_ia_j\). De fato, dados \(a,b \in A\), existem coeficientes \(\alpha_k \in \K\) e \(\beta_k \in \K\), \(k=1,2,\cdots,n\), tais que \(a = \sum_{i=1}^n \alpha_i a_i\) e \(b = \sum_{j=1}^n \beta_j a_j\). Assim,
$$ \begin{align*} ab &= \left( \sum_{i=1}^n \alpha_i a_i \right) \left( \sum_{j=1}^n \beta_j a_j \right) = \sum_{i=1}^n \left( \alpha_i a_i \sum_{j=1}^n \beta_j a_j \right) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i a_i \beta_j a_j \nonumber \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \beta_j a_i a_j = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \beta_j b_{ij} \end{align*} $$
Decompondo os vetores \(b_{ij}\) com respeito a base, temos que existem constantes \(\gamma_{ij}^k \in \K\), \(k=1,2,\cdots,n\), tais que \(b_{ij} = \sum_{k=1}^n \gamma_{ij}^k a_k\), para \(i,j=1,2,\cdots,n\). Esses elementos são chamados de constantes estruturais de \(A\). Dessa forma,
$$ \begin{align*} ab &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \beta_j b_{ij} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \beta_j \sum_{k=1}^n \gamma_{ij}^k a_k = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \alpha_i \beta_j \gamma_{ij}^k a_k \\ &= \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \beta_j \gamma_{ij}^k a_k = \sum_{k=1}^n \left( \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \beta_j \gamma_{ij}^k \right) a_k \end{align*} $$
Como a operação é unicamente definida pelo produto dos vetores da base e há no máximo a escolha de \(n^3\) constantes \(\gamma_{ij}^k\), \(i,j,k=1,2,\cdots,n\), temos que existem no máximo \(n^3\) produtos em um \(\mathbb{K}\)-espaço vetorial de dimensão \(n\).
Note que \(n^3\) é apenas uma cota superior. A escolha dos vetores \(b_{ij}\), e logo das constantes \(\gamma_{ij}^k\), não pode ser arbitrária. Elas devem ser escolhidas de tal forma que cumpram os axiomas da álgebra.
