Na matemática, ideias sobre o quão parecidas são duas estruturas nascem naturalmente no estudo: simetrias, isomorfismo ou equivalências entre objetos ou estruturas. Estudamos estas “semelhanças” a nível de objetos - grupos isomorfos entre si, isometrias de uma figura -, mas também podemos estudá-las a nível categórico. Neste Petisco entederemos como duas categorias são equivalentes e o que isto nos diz sobre seus objetos e morfismos.
Quando estudamos equivalências entre categorias, podemos entender duas noções: a de isomorfismo entre categorias e de equivalência. A ideia de isomorfismo, à primeira vista, parece mais apropriada, no entanto, em certas ocasiões, pode ser muito restritiva, enquanto o conceito de equivalência é mais abrangente e adequado para estabelecer o conceito de semelhante ou de essencialmente igual.
Antes de começarmos, devemos relembrar alguns conceitos: uma categoria \(\mathscr{C} \) é uma quintupla \(\mathscr{C} = (Ob_\mathscr{C}, Mor_\mathscr{C}, s, t, \circ) \), onde \(Ob_\mathscr{C}\) e \(Mor_\mathscr{C} \) são os objetos e morfismos, respectivamente, da nossa categoria, \(s,t \) são as funções source e target que associarão um morfismo a sua saída e sua chegada respectivamente, e finalmente \(\circ \) é a composição usual de morfismos. Um funtor entre duas categorias \(\mathscr{C} \) e \(\mathscr{D} \) nada mais é que um morfismo de categorias, poderíamos definir um funtor como uma aplicação \(f: \mathscr{C} \rightarrow \mathscr{D} \) entre as categorias que leva os objetos.. \(Ob_{\mathscr{C}} \) em \(Ob_{\mathscr{D}} \), os morfismos \(Mor_{\mathscr{C}} \) em \(Mor_{\mathscr{D}} \), e que preserva tanto a composição de morfismos quanto suas identidades.
Definiremos um isomorfismo de \(\mathscr{C} \) para \(\mathscr{D} \) como um funtor \(F: \mathscr{C} \rightarrow \mathscr{D} \) para o qual existe um outro funtor \(G: \mathscr{D} \rightarrow \mathscr{C} \) tal que:
- \(G \circ F = 1_{\mathscr{C}} \);
- \(F \circ G = 1_{\mathscr{D}} \).
A partir dessas duas propriedades, podemos notar que este funtor é uma bijeção tanto a nível de objetos, quanto a nível de morfismos.
Exemplos de isomorfismos: a categoria de anéis Rng é isomorfa a si mesma por um funtor que envia cada anél a seu anél oposto. Esta mesma categoria de anéis Rng é isomorfa à categoria \(\mathbb{Z} \)-\(Alg \) (categoria de \(\mathbb{Z} \) álgebras).
Outra maneira de entender equivalências é por meio do estudo do esqueleto de uma categoria. Diremos que uma categoria \(\mathscr{C} \) é esqueletal quando objetos isomorfos desta categoria são idênticos; o esqueleto \(\mathscr{D} \) de uma categoria será a maior subcategoria esqueletal de \(\mathscr{D} \).
O conceito de esqueleto é prevalente quando lidamos com equivalências, pois, além de sabermos que toda categoria tem um esqueleto, definimos que duas categorias são equivalentes quando seus esqueletos são isomorfos.
Vimos que duas categorias são equivalentes quando existe um isomorfismo entre seus esqueletos, podemos então notar que as ideias de isomorfismo e equivalência estão entrelaçadas, desta maneira, vamos estabelecer uma última definição que tome os requisitos necessários de um isomorfismo, e diretamente construa uma equivalência.
Definiremos uma equivalência entre \(\mathscr{C} \) e \(\mathscr{D} \) como um funtor \(F:\mathscr{C} \rightarrow \mathscr{D} \) que é:
- Fiel, ou seja, para todo \(a,b\in Ob(\mathscr{C}) \), existe \(F_{(x,y)}:hom(x,y) \rightarrow hom(F(x), F(y))\) injetivo;
- Pleno, isto é, \(F_{(x,y)} \) é sobrejetivo;
- Essencialmente sobrejetivo: para todo \(B\in Ob(\mathscr{D}) \) existe \(A\in Ob(\mathscr{C}) \) tal que \(F(A) \cong B\).
Esta noção de equivalência nos mostra uma correspodência entre a ideia de semelhança a nível de objetos (um morfismo bijetivo entre eles) e a nível categórico (bijeções entre esqueletos).
Enfim, desta vez nos aprofundamos ainda mais na Teoria de Categorias, tentando entender quando duas estruturas são semelhantes e como a divisão entre ser parecido ou igual é borrada. Foi um prazer escrever-vos, seguiremos eventualmente com mais teoria de categorias e até a próxima!
