Vimos anteriormente sobre como o conceito de categorias pode criar caminhos entre vários objetos matemáticos, desta vez veremos como podemos “apagar” estes caminhos, isto é, uma passagem só de ida de uma até outra coisa.
Dentro da Teoria de Categorias, foi necessário estabelecer o conceito de Funtor — um morfimo entre categorias — para que possamos criar os “caminhos” mencionados anteriormente, como uma forma de associar objetos distintos. Poderíamos definir um funtor como uma tripla \((C, f, D)\), isto é, um morfismo \(f: C \to D\) entre as categorias \(C\) e \(D\) que leva os objetos \(Ob_{C}\) em \(Ob_{D}\), os morfismos \(Mor_{C}\) em \(Mor_{D}\), e que preserva tanto a composição de morfismos quanto suas identidades. Exemplos clássicos de funtores são: o funtor de Abelianização e o funtor Conjunto Potência.
O funtor Conjunto Potência é uma tripla \((Set, P, Set)\) que associa cada conjunto \(A \in Ob_{Set}\) ao seu conjunto potência \(P(A)\), e cada função \(f:A \to B\) para \(P(f): P(A) \to P(B)\).
O funtor de Abelianização é uma tripla \((Grp, H, Ab)\), onde \(Grp\) é a categoria de grupos e \(Ab\) a de grupos abelianos, que associa cada grupo \(A \in Grp\) a um grupo \(H(A) = A/A’\), onde \(A’\) é o subgrupo comutador de \(A\), isto é, o subgrupo gerado por elementos de \(A\) da forma \(ghg^{-1}h^{-1}\). O funtor de abelianização, essencialmente, toma um grupo e o quocienta pelo seu subgrupo comutador para que então o “transforme” num grupo comutativo.
Agora que está definido o que é um funtor e qual a ideia geral por trás, vamos discutir um pouco sobre um tipo fundamental de funtor: o Funtor Esquecimento. Um funtor é dito de esquecimento quando ele “esquece” alguma estrutura dos seus objetos, isto é, utilizamos ele para “remover” uma estrutura pertencente a algum objeto. Vejamos por exemplo: podemos definir um funtor \((Grp, F, Set)\) que associa um grupo \(G\) ao seu conjunto subjacente \(U(G)\), e um homomorfismo \(f: G \to H\) a uma função \(F(f):U(G) \to U(H)\), isto é, estamos “removendo” a estrutura de grupo de \(G\) e deixando apenas o conjunto de \(G\), essencialmente removendo a operação da qual o grupo era munido.
Os funtores esquecimento (de fato, há mais de um) possuem como ideia central a de “esquecer” estruturas e propriedades de um objeto, poderíamos definir um funtor de \(Rng\) para \(Grp\) e “esquecer” uma das operações do anél inicial, poderíamos retirar a comutatividade de um anél \(A \in CRng\) apenas aplicando-o num funtor \(F: CRng \to Rng\).
Enfim, desta vez demos mais profundidade a Teoria de Categorias utilizando os conceitos de funtores e como podemos utilizá-los para “retirar” ou “esquecer” estruturas de objetos. Foi um prazer escrever-vos, seguiremos eventualmente com mais teoria de categorias e até a próxima!